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# String / LinkedList 大数运算

## [Add Binary](https://leetcode.com/problems/add-binary/)

* **当问题非常简单的时候，解题重点就从优化时间复杂度变成了优化代码简洁性。**

我就不回头看自己那么挫的第一个 AC 答案了。。贴个论坛的(加上我自己的改动)里面有几个很巧妙的优化使代码变得简洁易懂。

这题代码简洁的重点在于处理“终止条件”，因为两个 string 很可能长度不一，也有可能两个 string 加完了之后还有进位没处理。

这段代码给出的答案是：

* **输入长短不一就都放在 while loop 里，在读取字符时把短的做 padding.**
* **While loop 里三个 'OR' 的条件保证了三种不同情况下都会继续读取，而其他两个自动 pad 0.**

```java
public class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
        StringBuilder sum = new StringBuilder();
        int i = a.length() - 1;
        int j = b.length() - 1;
        int carry = 0;
        while (i >= 0 || j >= 0 || carry == 1) {
            int digitA = i < 0 ? 0 : a.charAt(i--) - '0';
            int digitB = j < 0 ? 0 : b.charAt(j--) - '0';
            sum.append((digitA + digitB + carry) % 2);
            carry = (digitA + digitB + carry) / 2;
        }
        return sum.reverse().toString();
    }
}
```

## [Add Two Numbers](https://leetcode.com/problems/add-two-numbers/)

上题完全一样的思路应用在链表上就是这样了。

```java
/**
 * Definition for singly-linked list.
 * public class ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode next;
 *     ListNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
public class Solution {
    public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
        ListNode dummy = new ListNode(0);
        ListNode head = dummy;

        int carry = 0;
        while(l1 != null || l2 != null || carry > 0){
            int num1 = (l1 == null) ? 0 : l1.val;
            int num2 = (l2 == null) ? 0 : l2.val;

            ListNode node = new ListNode((num1 + num2 + carry) % 10);
            carry = (num1 + num2 + carry) / 10;

            if(l1 != null) l1 = l1.next;
            if(l2 != null) l2 = l2.next;

            head.next = node;
            head = head.next;
        }

        return dummy.next;
    }
}
```

## [Multiply Strings](https://leetcode.com/problems/multiply-strings/)

又进阶了， 这次是乘法，比加法复杂。下面的代码是我写的略为粗糙的第一版。

这题的时间复杂度不会低于 $$O(mn)$$ ，因为毕竟每个 digit 都要和另外的 string 相乘一次。 所以把运算拆成两部分，一部分是 longer string 与单数位乘法，另一个是一个数位结束之后，两数相加。每一个数位上的结果乘出来之后要对应的做 0 padding，代表左位移。

提交时候遇到的一个 bug 是 "9133" x "0" 的情况，要记得在 multiply() 函数中如果输入是 0 就直接返回 "0"，这是乘法和加法运算的一个不同之处，否则会返回“0000”.

```java
public class Solution {
    public String multiply(String num1, String num2) {
        String longStr = (num1.length() > num2.length()) ? num1 : num2;
        String shortStr = (num1.length() > num2.length()) ? num2 : num1;

        String rst = "";

        int index = 0;
        while(shortStr.length() - 1 - index >= 0){
            int num = shortStr.charAt(shortStr.length() - 1 - index) - '0';
            String cur = multiplyOne(longStr, num);
            for(int i = index; i > 0; i--){
                cur += "0";
            }

            rst = addTwo(rst, cur);
            index ++;
        }

        return rst;
    }

    private String multiplyOne(String src, int num){
        if(num == 0) return "0";

        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        int carry = 0;
        for(int i = src.length() - 1; i >= 0; i--){
            int digit = src.charAt(i) - '0';
            sb.append((digit * num + carry) % 10);
            carry = (digit * num + carry) / 10;
        }
        if(carry > 0) sb.append(carry);

        return sb.reverse().toString();
    }

    private String addTwo(String num1, String num2){
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        int i = num1.length() - 1;
        int j = num2.length() - 1;
        int carry = 0;
        while(i >= 0 || j >= 0 || carry > 0){
            int digit1 = (i >= 0) ? num1.charAt(i--) - '0': 0;
            int digit2 = (j >= 0) ? num2.charAt(j--) - '0': 0;
            sb.append((digit1 + digit2 + carry) % 10);
            carry = (digit1 + digit2 + carry) / 10;
        }

        return sb.reverse().toString();
    }
}
```

前面的做法对于每一个 digit 都做了一个乘法和加法操作，并没有特别好的利用到乘法的特点，中间操作过多而且生成了好多不必要的 String.

下面的解法是九章算法的，简洁高效。

* **两个位数为 m 和 n 的数字相乘，乘积不会超过 m + n 位。**
* **乘法操作从右往左计算时，每次完成相加就确定了当前 digit.**
* **同一个 digit 多次修改，用 int\[ ].**

```java
public class Solution {
    public String multiply(String num1, String num2) {
        if(num1 == null || num2 == null) return null;

        int maxLength = num1.length() + num2.length();
        int[] nums = new int[maxLength];
        int i, j, product, carry;

        for(i = num1.length() - 1; i >= 0; i--){
            // 中间部分相当于多位数乘一位数，起始 carry 为 0
            carry = 0;
            for(j = num2.length() - 1; j >= 0; j--){
                int a = num1.charAt(i) - '0';
                int b = num2.charAt(j) - '0';

                product = nums[i + j + 1] + a * b + carry;
                nums[i + j + 1] = product % 10;
                carry = product / 10;
            }
            // 循环结束，最左面为当前最高位数，如果 carry 还有就设过去
            nums[i + j + 1] = carry;
        }
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        int index = 0;
        while(index < maxLength - 1 && nums[index] == 0) index ++;
        while(index < maxLength) sb.append(nums[index++]);

        return sb.toString();
    }
}
```